ლოგარითმული სკალა. დეციბელი.

თუ ხელში 10 გრამიანი საწონი გვიჭირავს, მაშინ ამ საწონზე კიდევ ერთი ასეთი საწონის დამატებას ჩვენი ხელი შეუცდომლად და სრულიად მკაფიოდ იგრძნობს.  მაგრამ, თუ ხელში 10 კილოგრამიან საგანს დავიჭერთ, მაშინ ამ საგანზე 10 გრამიანი საწონის დამატება ჩვენი ხელისთვის სრულიად შეუმჩნეველი იქნება. მაშასადამე, გარე გაღიზიანების ცვლილებაზე ჩვენი გრძნობის ორგანოების რეაქცია დამოკიდებულია გაღიზიანების  ხარისხზე. თუ ავაგებთ გრაფიკს, რომლის ჰორიზონტალურ ღერძზე გადაზომილი იქნება გარე გაღიზიანების სიდიდე, ხოლო ვერტიკალურზე -  გრძნობის ორგანოების რეაქციის ხარისხი, მაშინ მას ექნება ნახაზზე ნაჩვენები სახე.

გრაფიკიდან ჩანს, რომ ძლიერი გამაღიზიანებლების შემთხვევაში, გამაღიზიანებლის ცვლილება რეაქციის მცირე ცვლილებას იწვევს ( მგძნობელობა მცირეა), ხოლო მცირე გამაღიაზიანებლებისათვის  გამაღიზიანებლის უმცირეს ცვლელებასაც კი რეაქციის მკვეთრი ცვლილება შეესაბამება.
სწორედ ამიტომ არის, რომ სიჩუმეში კოღოს სუსტი წუილიც კი კარგად გვესმის, და იმავდროულად, აეროპორტში თვითმფრინავის ძრავების უძლიერესი ღმუილიც არ გვაყრუებს, თუმცა ძრავების სიახლოვეს ყურის მემბრანაზე მოქმედი ჰაერის წნევა მილიარდჯერ მეტია ვიდრე კოღოს შემთხვევაში. ეს გარემოება ეხება ადამიანის გრძნობის უკლებლივ ყველა ორგანოს.
გამაღიზიანებლის გეომეტრიული პროგრესიით ცვლილება იწვევს რეაქციის არითმეტიკული პროგრესიით ცვლილებას. სიდიდეების ურთიერთ დამოკიდებულების ამგვარ ხასიათს ლოგარითმული ეწოდება.
როგორ შეიძლება მათემატიკური ოპერაციის – შეკრების გამოყენებით რიცხვი 10 -დან მივიღოთ რიცხვი 1000? ცხადია, 10 -ს უნდა დავუმატოთ 990. რა უნდა დავუმატოთ 10-ს, რომ მივიღოთ 1000? პასუხია – 990.
ამოვხსნათ იგივე ამოცანა მათემატიკური ოპერაციის – ახარისხების გამოყენებით. რა ხარისხში უნდა ავიყვანოთ 10, რომ მივიღოთ 1000? პასუხია – 3.
მათემატიკოსები ამ შეკითხვას შემდეგნაირად წერენ:
ამბობენ, რომ რიცხვი x, ანუ ის რიცხვი, რომელ ხარისხშიც უნდა ავიყვანოთ 10 იმისათვის, რომ მივიღოთ 1000, ტოლია ათასის ლოგარითმისა ათის ფუძით.
ზოგადად, b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძით ტოლია იმ რიცხვის, რომელშიც უნდა ავახარისხოთ a იმისთვის, რომ მივიღოთ b.

განმარტებიდან ცხადია, რომ
თუ ლოგარითმის ფუძე 10 -ის ტოლია, მაშინ იყენებენ შემოკლებულ ჩაწერას “lg b” – b რიცხვის ლოგარითმი 10 ფუძით. ასეთ ლოგარითმს ათობითი ლოგარითმი ეწოდება.
კიდევ ერთი შემოკლება ეხება ლოგარითმს, რომლის ფუძეა ეგრეთწოდებული ნეპერის რიცხვი – e=2,71828… ნეპერის რიცხვი უსასრულო არაპერიოდული ათწილადია. b რიცხვის ლოგარითმი ნეპერის რიცხვის ფუძით აღინიშნება „ln b”. ასეთი ლოგარითმი ატარებს სახელწოდებას „ნატურალური ლოგარითმი“. (ნეპერის რიცხვის განსაკუთრებულობის განმარტება, სამწუხაროდ,  სცილდება მოცემული პუბლიკაციის თემას).
ქვემოთ მოყვანილია სხვადასხვა ფუძიანი ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები.
ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი მაჩვენებლიანი ფუნქციის სარკულ ანარეკლს წარმოადგენს
ეს გარემოება გამოიყენება ხმის რეგულატორებში. იმისათვის, რომ ხმის გამაძლიერებლის გამოსასვლელზე  ხმამაღლობა ხმის რეგულატორის სახელურის მოტრიალების კუთხის პროპორციული იყოს, საჭიროა რეგულატორად ისეთი პოტენციომეტრის გამოყენება, რომლის წინაღობა მისი მცოცის მოტრიალების კუთხეზე ექპონენციალურად (ხარისხის მაჩვენებლიანი ფუნქციის მიხედვით, ანუ ისე, როგორც ეს ზედა ნახაზზე შავი ფერის მრუდით არის ნაჩვენები) არის დამოკიდებული.
ამ შემთხვევაში ძაბვა გამაძლერებლის გამოსასვლელზე და, მაშასადამე, ჰაერის წნევაც, რომელსაც გამაძლიერებელთან მიერთებული აკუსტიკური გამომსიხვებლები ქმნიან შეიცვლება კანონით, რომელიც ზედა გრაფიკზე შავი ფერის მრუდით არის გამოსახული. ეს დააკომპენსირებს იმ გარემოებას, რომ ჩვენი ყურის რეაქცია აკუსტიკური წნევის ცვლილებაზე ლოგარითმულ ხასიათს ატარებს. საბოლოოდ, გამაძლიერებლის ხმამაღალობა რეგულატორის სახელურის მოტრიალების კუთხის პროპორციული იქნება.
ნებისმიერი ელექტრონული გამზომი ხელსაწყო ხასიათდება პარამეტრით, რომელსაც დინამიური დიაპაზონი ეწოდება. ეს პარამეტრი წარმოადგენს ხელსაწყოს მიერ გასაზომი სიდიდის მაქსიმალური მნიშნელობის ფარდობას მის იმ მინიმალურ სიდიდესთან, რომლის გაზომვაც ხელსაწყოს შეუძლია.  მაგალითისთვის განვიხილოთ ძაბვის გაზომვისათვის განკუთვნილი გამაძლიერებელი, რომლის გაძლიერების კოეფიციენტი მუდმივი სიდიდეა და 100 -ის ტოლია, ხოლო მისი კვების წყაროს ძაბვა 10 ვოლტს შეადგენს. თუ მისი საკუთარი ხმაურისა და გარეშე ხმაურის ჯამური ძაბვა 0.0001 ვოლტის რიგისაა, მაშინ მინიმალური ძაბვა, რომელიც მან შეიძლება დამაჯერებლად გაზომოს 0,001 ვოლტს შეადგენს. ამ დროს მის გამოსასვლელზე ძაბვა 100 -ჯერ მეტი, ანუ 0.001 X 100 = 0,1 ვოლტის ტოლი იქნება. შეასასვლელზე ძაბვის 0.01 ვოლტამდე გაზრდისას გამოსასვლელი ძაბვა 1 ვოლტის ტოლი იქნება, ხოლო შესასვლელი ძაბვის 0.1 ვოლტამდე გაზრდა გამოსასვლელზე 10 ვოლტს მოგვცემს. შესასვლელზე ძაბვის შემდგომი ზრდა გამოსასვლელის ცვლილებას ვეღარ გამოიწვევს, რადგან გამაძლიერებლის კვების ძაბვა 10 ვოლტის ტოლია. ამრიგად, ასეთი გამაძლიერებლის დინამიური დიაპაზონი 0.1/0.001=100 შეადგენს. ნახაზზე ნაჩვენები ზედა სკალა ზემოთ აღწერილ გამაძლიერებელს შეესაბამება. ქვედა სკალა შეესაბამება შემთხვევას, როდესაც გამაძლიერებლის გამოსასვლელ და შესასვლელ ძაბვათა შორის დამოკიდებულება წრფივი კი არ არის, როგორც წინა შემთხვევაში იყო, არამედ ლოგარითმულ ფუნქციას წარმოადგენს. ამ შემთხვევაში გამოსასვლელი ძაბვის იმავე მაქსიმალურ მნიშვნელობას – 10 ვოლტს 0.1 ვოლტის ნაცვლად შესასვლელზე 0.5 ვოლტი ძაბვა შეესაბამება. და რადგანაც შესასვლელი ძაბვის გაზომვადი მინიმალური მნიშვნელობა იგივე 0.001 ვოლტი დარჩა, ამიტომ გამაძლიერებლის დინამიური დიაპაზონი 5 -ჯერ გაიზარდა.
ლოგარითმული სკალების მაგალითი ნაჩვენებია სურათზე.
როგორც ზემოთ ავღნიშნეთ, დინამიური დიაპაზონი ფარდობითი სიდიდეა – მას არ გააჩნია განზომილება. ფარდობით სიდიდეებზე ოპერაციების ჩატარება უფრო მოსახერხებელია, თუ ფარდობას გავალოგარითმებთ და შემდგომ ოპერაციებს უკვე ამ ფარდობის ლოგარითმზე ჩავატარებთ. ეს დაკავშირებულია იმასთან, რომ ლოგარითმული ფუნქციებისთვის სამართლიანია ფორმულები
ანუ, ლოგარითმებისთვის გამრავლების ოპერაცია ადვილად დაიყვანება შეკრებაზე, ხოლო გაყოფის ოპერაცია – გამოკლებაზე. ანლოგიურად, ახარისხება დაიყვანება გამრავლებაზე, ხოლო ფესვის ამოღება – გაყოფაზე.
SI სისტემაში სიმძლავრეთა ფარდობის ათობით ლოგარითმს ბელი ეწოდება. ასე მას ტელეფონის გამომგონებლის ალექსანდრე ბელის პატივსაცემად დაერქვა. ბელი უგანზომილებო სიდიდეა, იგი არ წარმოადგენს ფიზიკურ სიდიდეს. ამ სიტყვით, უბრალოდ, აღინიშნება ის ფაქტი, რომ საქმე გვაქვს არა უბრალოდ შეფარდებასთან, არამედ შეფარდების ათობით ლოგარითმთან lg(P1/P2), ანუ იგი მიუთითებს სკალის გვარობას. პრაქტიკაში გამოთვლებისათვის უფრო ხშირად იყენებენ სიდიდეს lg(P1/P2)/10, რომელსაც დეციბელი ეწოდება. ამრიგად, სიმძლავრეთა შეფარდება ლოგორითმულ სკალაზე დეციბელებში გამოითვლება ფორმულით N(dB)=10lg(P1/P2).
შევთანხმდეთ, რომ სიმძლავრეებისთვის ყველაფერი მეტნაკლებად გასაგებია და განვიხილოთ რა სიტუაცია გვაქვს ძაბვებისა და დენის ძალების ფარდობებისთვის. ელექტრული დენის P  სიმძლავრესა და U ძაბვას შორის კავშირი გამოისახება ფორმულით
ხოლო კავშირი სიმძლავრესა და I დენის ძალას შორის – ფორმულით
სადაც R წრედის უბნის წინაღობაა.
ამიტომ სიმძლავრეთა შეფარდებისათვის მივიღებთ
ხოლო ამ ფარდობის ლოგარითმისათვის გვექნება
იმის გათვალისწინებით, რომ
მივიღებთ
საბოლოოდ, ძაბვისა, დენის ძალის და სიმძლავრის შეფარდებებს დეციბელებში ექნებათ შემდეგი სახე
ამ ფორმულებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ წრედის უბანზე მოდებულ ძაბვას 100-ჯერ, ანუ 40 დეციბელით გავზრდით, მაშინ დენის ძალაც 100-ჯერ, ანუ 40 დეციბელით გაიზრდება, მაგრამ რადგანაც სიმძლავრე ძაბვის კვადრატის პროპორციულია, იგი 10000-ჯერ გაიზრდება, რაც დეციბელებში  სიმძლავრისთვის მაინც 40 დეციბელს შეადგენს.

როგორც უკვე ავღნიშნეთ, დეციბელი ფარდობითი სიდიდეა, მაგრამ თუ შევთანხმდებით  ამა თუ იმ ფიზიკური სიდიდის  რა მნიშვნელობა ავირჩიოთ ნულ დეციბელად, მაშინ დეციბელების მიხედვით ადვილად გამოვთვლით ამ ფიზიკური სიდიდის აბსოლუტურ მნიშვნელობასაც. მაგალითად აკუსტიკაში 0 დეციბელად მიჩნეულია ადამიანის ყურის ზღვრული მგრძნობელობის შესაბამისი წნევა – 2/10.000.000.000 პასკალი.
თუ ბგერითი ტალღის ამპლიტუდა ჩვენი ყურის მიერ აღიქმება როგორც ხმამაღალობა, ამ ტალღის სიხშირე აღიქმება როგორც ტონის სიმაღლე. როგორც აღმოჩნდა, ყურის მიერ სიხშირის აღქმა აგრეთვე ლოგარითმული კანონით ხდება. სიხშირის გეომეტრიული პროგრესიით ზრდას ყური ტონის არითმეტიკული პროგრესიით ზრდად აღიქვამს. ბგერითი სიხშირეების იმ ინტერვალს რომლის კიდურა მნიშვნელობები ორჯერ განსხვავდებიან – ოქტავა ეწიდება. ფორტეპიანოს კლავიატურაზე დო კლავიშის შესაბამისი სიხშირე და შემდეგი უახლოესი დო კლავიშის შესაბამისი სიხშირე ერთმანეთისაგან 2-ჯერ განსხვავდება, ამიტომ დო-დან დო-მდე კლავიატურის ინტერვალს ოქტავა ეწოდება.
ოქტავა 12 ნახევარტონს შეიცავს – თეთრი და შავი კლავიშები ერთად, სულ თორმეტი კლავიში. მეზობელ კალვიშებს შორის სიხშირეები ერთმანეთისაგან განსხვავდებიან ჯერადობით მე-12 ხარისხის ფესვი 2-დან (1.0595-ჯერ). ამრიგად, ფორტეპიანოს  კლავიატურა ლოგარითმული სკალის ნაირსახეობას წარმოადგენს.

About these ads